Phương trình vi phân

Xét khâu đối tượng như chương 3 đã nghiên cứu, nếu ta qui định vế trái là những gì thuộc thông số ra của khâu còn vế phải là những gì thuộc về nhiễu hay thông số vào, thì phương trình vi phân của khâu có thể viết dưới dạng sau:

* Dạng viết thông thường:

$T_o\text{.}\frac{\mathrm{d\varphi }}{\text{dt}}+A\text{.}\varphi =\mu -\lambda$ hay $T\text{.}\frac{\mathrm{d\varphi }}{\text{dt}}+\varphi =K(\mu -\lambda )$

* Dạng toán tử: nếu sử dụng toán tử vi phân

Ví dụ : Ġ(toán tử vi phân)

$T_o\text{.}P\text{.}\varphi +A\text{.}\varphi =\mu -\lambda$hay $(T\text{.}P+A)\varphi =K(\mu -\lambda )$ (1)

( φ là hàm của biến số thực thời gian t )

* Dạng thuật toán: sử dụng phép biến đổi Laplace

Trở lại áp dụng cho khâu đối tượng ta có (giả sử điều kiện không ban đầu thỏa mãn).

⇒ T_o .P . φ (P) + A. φ (P) = μ (P) - λ (P)

⇒ ( T_o .P + A ) φ (P) = μ (P) - λ (P) (2)

(2) là dạng thuật toán của phương trình trên.

(2) và (1) giống nhau về hình thức nhưng một bên là hàm thực 1 bên là hàm phức.

Kết luận: Dựa vào phương trình (1) ta có thể suy ra cách viết (2) bằng cách thay biến thực t bằng biến phức P.

Các đặc tính thời gian

Hàm số truyền

Giả sử có một khâu mà tính chất động của nó được miêu tả bằng phương trình bậc hai dạng: a₂ y’’ + a₁ y’ + a_o y = b₁ x’ + b_o x

Với điều kiện ban đầu bằng 0 ta viết phương trình trên dưới dạng Laplace:

Đặc tính tần sô

Trong thực tế có thể đưa nhiễu đầu vào có dạng hình sin hay cosin với tần số ω

⇒ Các đặc tính khi nhiễu đầu vào là hàm điều hòa có tần số thay đổi gọi là đặc tính tần số.

K* còn gọi là hệ số khuếch đại phức hay hàm số truyền phức.

Vậy ta tìm cách biểu diễn K* thành hàm số truyền.

Ví dụ: Giả sử ta có một khâu mà tính chất động được mô tả bằng hàm vi phân bậc ba có dạng:

So sánh (3) và (5) ta thấy hình thức chúng giống nhau chỉ khác một bên là P còn 1 bên là iω

Về mặt toán học để chặt chẽ ta xét toàn dãi ω thay đổi -∞  ∞ thì ĐTBF đối xứng qua trục thực Re.

Mặt khác nếu lấy logarít 2 vế của biểu thức K*:

ln K^* = ln W(iω) = ln R + iθ

⇒ ta có đặc tính tần số logarít:

ln R = f (lnω) → đặc tính biên độ logarít

θ = f (lnω) → đặc tính pha logarít

Đặc tính pha mà ta xét trên là đặc tính pha bình thường, thường ta sử dụng ĐTBF này để tính toán sự ổn định cho trước. Trong trường hợp khi cần tính toán hệ thống theo độ tắt dần cho trước của quá trình quá độ ta sử dụng tần số biên độ pha mở rộng. ĐTBF mở rộng cũng giống trên nhưng chỉ khác là ta cho tần số đầu vào là ω và tắt dần (biên độ A thay đổi).

Ví dụ: Xét khâu đối tượng có 1 dung lượng cân bằng ta có:

Trong thực tế ta có thể thu được các đường đặc tính bằng thực nghiệm nhờ máy hiện sóng:

Khâu tỷ lệ (khâu khuếch đại hay khâu không có quán tính)

Đó là khâu động học mà đại lượng ra tỷ lệ với đại lượng vào theo phương triình Y = K.X

Khâu quán tính bậc 1 (khâu phi chu kỳ bậc 1 hay khâu một dung lượng)

Là khâu động học mà khi đại lượng vào thay đổi theo xung bậc thang thì đại lượng ra thay đổi theo quy luật hàm mũ.

Khâu dao động

Là khâu động học mà phương trình động của nó được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân bậc 2:

Khâu tích phân

Là khâu mà phương trình động của nó có dạng sau:

Khâu vi phân

Là khâu động học mà phương trình động có dạng:

Trong thực tế không có mà có khâu vi phân thực và có dạng:

Khâu chậm trễ

Là khâu mà tín hiệu ra lặp lại hoàn toàn so với tín hiệu vào nhưng chậm trễ 1 khoảng thời gian T

Ví dụ