Phương pháp số mũ thủy lực x

Ta thấy: $\frac{\text{dh}}{\text{dl}}=f\left(h\right)$

Ta xem j = const trong khi lấy tích phân và biến đổi f(f) thành một hàm số lũy thừa nào đó.

Với kênh lăng trụ:

K = $\mathrm{wC}\sqrt{R}$ = K $\left(h\right)$ (2-66)

Đường biểu diễn số 1 của nó là đường liền nét. Nó có thể gần trùng với đường biểu diễn số 2 của một hàm số lũy thừa nào đó như sau :

K = D h^P = Dh^x/2 (2-67)

Nên ta có hai ẩn số x và A, ta cần thiết lập hai phương trình. Muốn thế ta lấy hai điểm trên đường số 1, sao cho:

$K_1={\text{Dh}}_1^{\frac{x}{2}}$ và $K_2={\text{Dh}}_2^{\frac{x}{2}}$

Lập tỉ số 2 phương trình trên, khử D sau đó lấy logarit 2 vế và giải ra ta được:

x = $\frac{\text{lg}{K}_2-\text{lg}{K}_1}{\text{lg}{h}_2-\text{lg}{h}_1}$ (2-68)

Từ công thức trên ta thấy giá trị x phụ thuộc vào tọa độ hai điểm chọn trước, nhưng với mặt cắt hoàn chỉnh thì khi ta chọn bất kỳ điểm nào trên đường 1.

Giá trị x thay đổi rất ít và trong tính toán thực tế có thể xem như không đổi.

a. Với i > 0: Ta xét K, K₀ theo hàm số lũy thừa tương ứng của h, h₀:

${\left(\frac{K}{K_0}\right)}^2={\left(\frac{h}{h_0}\right)}^X$ (2-69)

Ta đặt: $\eta =\frac{h}{h_0}$ (2-70)

Thay (2-70) vào (2-69) ta được:

${\left(\frac{K}{K_0}\right)}^2={\eta }^X$ (2-71)

Lấy đạo hàm (2-70), ta được :

dh = h₀ . dη (2-72)

Thay (2-71) và (2-72) vào công thức (2-62) sắp xếp ta được:

$\frac{i}{h_0}\text{dl}=\mathrm{d\eta }-\left(1-\overline{j}\right)\frac{\mathrm{d\eta }}{1-{\eta }^X}$ (2-73)

Lấy tích phân từ mặt cắt (1-1) đến (2-2), trong đó xem j là hằng số, bằng trị số trung bình:

$\overline{j}=\frac{\alpha \text{.}i}{g}\frac{\overline{C^2}\overline{B}}{\overline{P}}$ (2-74)

Ta được: $\frac{i}{h_0}{l}_{1-2}={\eta }_2-{\eta }_1-\left(1-\overline{j}\right)\left[\varphi \left({\eta }_2\right)-\varphi \left({\eta }_1\right)\right]$ (2-75)

Ở đây: $\varphi \left(\eta \right)=\int \frac{\mathrm{d\eta }}{1-{\eta }^x}+\text{const}$ (2-76)

φ(η) trong các tài liệu về thuỷ lực đều có bảng tra tính gía trị theo (2-76). Vì tích phân trên không có nguyên hàm, bằng phương tính có thể giải được. Do vậy tích trên có thể dùng cáchlập trình hay phần mềm Mathcad để tính thuận tiện hơn.

Giá trị x tính theo (2-68), tuỳ theo dạng đường mực nước ở khu a; b hay c, thường với:

h₁ = h₀ nên K₁ = K₀

h₂ = $\overline{h}$ nên K₂ = $\overline{K}$

$\overline{h}$ là độ sâu trung bình trong dòng không đều ta xét.

b. Với i = 0: Ta xét K, K_n theo hàm số lũy thừa tương ứng của h, h_n:

${\left(\frac{K}{K_n}\right)}^2={\left(\frac{h}{h_n}\right)}^X$ (2-77)

Ta đặt: $\xi =\frac{h}{h_0}$ (2-78)

Thay (2-77) vào (2-76), ta được:

${\left(\frac{K}{K_n}\right)}^2=\xi$ (2-79)

dh = h_n . dξ (2-80)

Thay (2-78) và (2-79) vào công thức (2-64) sau khi rút gọn và lấy tích phân từ mặt cắt (1-1) đến mặt cắt (2-2), ta được:

$\frac{i_n}{h_n}{l}_{1-2}=\overline{j_n}\left({\xi }_2-{\xi }_1\right)-\frac{{\xi }^{X+1}-{\xi }^X}{X+1}$ (2-81)

Giá trị x tính có thể lấy với h₁ = h_n và h₂ = $\overline{h}$, còn giá trị $\overline{j_n}$ xác định theo công thức:

$\overline{j_n}=\frac{\alpha \text{.}{i}_n}{g}\frac{\overline{C^2}\overline{B}}{\overline{P}}$ (2-82)

Nếu lấy i_n = i_k và sắp xếp lại ta có:

$\frac{i_k}{h_k}{l}_{1-2}=\left(\overline{j_K}-1\right)\left({\xi }_2-{\xi }_1\right)-\left[\psi \left({\xi }_2\right)-\psi \left({\xi }_1\right)\right]$ (2-83)

Trong đó: $\overline{j_k}=\frac{P_k}{P}\frac{\overline{C^2}\overline{B}}{C_k^2{B}_k}$ (2-84)

Tính sơ bộ có thể lấy $\overline{j_k}$=1

Vậy ta được:

$\frac{i_k}{h_k}{l}_{1-2}=-\left[\psi \left({\xi }_2\right)-\psi \left({\xi }_1\right)\right]$ (2-85)

trong đó: $\psi \left(\xi \right)=\frac{{\xi }^{x+1}}{x+1}-\xi +\text{const}$ (2-86)

Giá trị của (2-86) chúng ta có thể tính được trực tiếpkhông cầntra bảng, không như tích phân (2-76) không có nguyên hàm

c. Với i < 0: Ta xét K, K₀^’ theo hàm số lũy thừa tương ứng của h, h₀^’

${\left(\frac{K}{K_0^{\text{'}}}\right)}^2={\left(\frac{h}{h_0^{\text{'}}}\right)}^X$ (2-87)

Ta đặt: $\varsigma =\frac{h}{h_0^{\text{'}}}$ (2-88)

Thay (2-88) vào (2-87) nên ta được:

${\left(\frac{K}{K}\right)}^2={\zeta }^X$ (2-89)

lấy đạo hàm(2-88) ta được :

dh = h_n . dζ (2-90)

Thay (2-89) và (2-90) vào công thức (2-65) biến đổi và lấy tích phân ta được:

$\frac{i^{\text{'}}}{h_0^{\text{'}}}{L}_{1-2}=-\left({\zeta }_2-{\zeta }_1\right)+\left(1+\overline{j^{\text{'}}}\right)\left[\Phi \left({\zeta }_2\right)-\Phi \left({\zeta }_1\right)\right]$ (2-91)

trong đó: $\overline{j\text{'}}=\frac{\alpha \text{.}i\text{'}}{g}\frac{\overline{C^2}\overline{B}}{\overline{P}}$ (2-92)

$F\left(z\right)=\int \frac{\mathrm{dz}}{z^X+1}+C$. (2-93)

Giá trị x tính với h₁ =h₀ ; h₂= $\overline{h}$

Giá trị của tích phân theo công thức (2-93) như đã nói ở trên trường hợp không có nguyên, ta dùng phương tính hay dùng phần mềm thích hợp sẽ giải được.

Phương pháp số mũ thủy lực z

Cũng như phương pháp số mũ thủy lực x, phương pháp số mũ z biến đổi các

phương trình (2-63), (2-64) và (2-65) về dạng đơn giản hơn. Ở đây dùng phương pháp đổi biến số, từ h sang (. ( được xác định từ quan hệ:

${\left(\frac{K}{K_0}\right)}^2={\tau }^Z$ (2-94)

hay $\tau ={\left(\frac{K}{K_0}\right)}^{\frac{2}{Z}}$ (2-95)

z là một hằng số tuỳ ý chọn, thường lấy từ 2 đến 5.5 ( N. N. Pavơlốpski z=2; I. I. Agơrốtkkin lấy z=5.5; M.Đ. Tréctôuxốp lấy z=4 v.v...)

Còn quan hệ giữa τ và h là:

dh=a.dτ (2-96)

ở đây a là hệ số, được xác định một cách gần đúng bằng tỷ sốĠ:

a= $\frac{\mathrm{\Delta h}}{\mathrm{\Delta \tau }}$= $\frac{h_2-h_1}{{\tau }_2-{\tau }_1}$ (2-97)

trong đó:

• h₁ , h₂ là hai độ sâu trong đoạn đang xét;
• τ₁, τ₂ là hai trị số tương ứng với độ sâu h₂, h₁.

1. Với i>0, thay (2-95) và (2-96) vào (2-62), sau khi sắp xếp lại và tích phân ta được:

$\frac{i}{a}{L}_{1-2}={\tau }_2-{\tau }_1-\left(1-\overline{j}\right)\left[\varphi \left({\tau }_2\right)-\varphi \left({\tau }_1\right)\right]$ (2-98)

Ở đây: $\varphi \left(\tau \right)=\int \frac{\mathrm{d\eta }}{1-{\tau }^z}+\text{const}$ (2-99)

φ(τ ) cũng không có nguyên từ khi ta chọn z=2.

1. Với i = 0, thay

${\tau }_n={\left(\frac{K}{K_n}\right)}^{\frac{2}{Z}}$ (2-100)

dh=a_n.dτ_n (2-101)

vào công thức (2-64) sau khi rút gọn và lấy tích phân ta được:

$\frac{i_n}{a_n}{L}_{1-2}=\overline{j_n}\left({\tau }_{\mathrm{n2}}-{\tau }_{\mathrm{n1}}\right)-\frac{{\tau }_{{\mathrm{n2}}^{X+1}}-{\tau }_{{\mathrm{n1}}^{X+1}}}{X+1}$ (2-102)

ở đây: $a_n=\frac{h_2-h_1}{{\tau }_{\mathrm{n2}}-{\tau }_{\mathrm{n1}}}$ (2-103)

Còn $\overline{j_n}$ lấy theo công thức (2-82).

Nếu lấy i_n = i_k , thì một cách gần đúng cho j_k=1 công thức (2-102) sắp xếp lại ta có:

$\frac{i_k}{a_k}{L}_{1-2}=-\left[\psi \left({\tau }_2\right)-\psi \left({\tau }_1\right)\right]$ (2-104)

$\psi \left(\tau \right)=\frac{{\tau }^{z+1}}{z+1}-\xi +\text{const}$ (2-105)

Giá trị ψ(τ ) ta có thể tính trực tiếp được.

c. Với i < 0: thay

$\tau \text{'}={\left(\frac{K}{K_0^{\text{'}}}\right)}^{\frac{2}{Z}}$ (2-106)

và dh = a’.τ’ (2-107)

vào công thức (2-65) biến đổi và lấy tích phân ta được:

$\frac{i^{\text{'}}}{a\text{'}}{L}_{1-2}=-\left(\tau {\text{'}}_2-\tau {\text{'}}_1\right)+\left(1+\overline{j^{\text{'}}}\right)\left[\Phi \left(\tau {\text{'}}_2\right)-\Phi \left(\tau {\text{'}}_1\right)\right]$ (2-108)

ở đây: $a\text{'}=\frac{h_2-h_1}{{\tau }_2^{\text{'}}-{\tau }_1^{\text{'}}}$ (2-109)

$\overline{j\text{'}}$ tính theo công thức (2-92)

$\Phi \left(\tau \text{'}\right)=\int \frac{\mathrm{d\tau }\text{'}}{\tau {\text{'}}^z+1}+\text{const}$. (2-110) giá trị Ф(τ’) không có nguyên hàm, ta có thể chọn z=2 để tính.