Thuật toán bình phương và nhân là thuật toán tính nhanh lũy thừa tự nhiên của một số (thực hoặc nguyên), trong trường hợp cơ số là số nguyên có thể được rút gọn theo một môđun nào đó.

Phép nâng lên lũy thừa tự nhiên bậc n của số x (x được gọi là cơ số) được định nghĩa từ hệ thức

Với n lớn số phép nhân là rất lớn.

Ví dụ

Công thức đệ quy

Quá trình tính toán trên chính là quá trình tính nhờ công thức đệ quy

Với n=0 thì xn = 1
Với n>0 ta có công thức

Như vậy phép tính xn được quy về một số phép bình phương và phép nhân do vậy mà có tên gọi thuật toán bình phương và nhân.

Giải thuật đệ quy

Giải thuật sau tính đệ quy xn(mod m)

Function Square_Multi (int x, n, m){
    Var Int Power
    If n=0 then return 1
    Else {
    n:=LShift(n,1) 
    Power := Square_Multi (int x, n, m)
    Power:=(Power^2) mod m
    If n BitAnd 1 =0 then 
    Return Power
    Else 
    Return (Power*x) mod m 
    } 
    }

Đoạn code viết bằng java:

public static int binhphuong (int x,int n,int m)
    {
    int p;
    if (n==0) then return 1;
    p=binhphuong(x,n/2,m);
    if (n%2==0) 
    return (p*p)%m;
    else
    return (p*p*x)%m;
    }

Chú ý rằng một số tự nhiên là chẵn hay lẻ chỉ phụ thuộc vào bít số 0 của nó nên trong giải thuật trên ta sử dụng toán tử AndBit để xác định tính chãn lẻ của n và sử dụng phép LShif để tính phần nguyên của n/2.

Giải thuật không đệ quy

Trong giải thuật đệ quy trên đây ta xét tính chẵn lẻ của n và liên tục chia n cho 2 lấy phần nguyên cho đến khi n=0. Thực chất quá trình này chính là tìm các bít của n. Do đó ta có thể thực hiện phép đổi ra số nhị phân trước sau đó tính lũy thừa theo quy tắc bình phương và nhân.

Giải thuật

Đổi n ra số nhị phân ghi vào mảng b[1..k]

Function Power_Modulo(Int x,n,m){
    Var Int Power:=1
    For i=1 to k do {
    Power:=(Power^2) mod m
    If b[i]=1 then
    Power:=(Power*x) mod m
    Return Power 
    }

Ví dụ

Trong ví dụ sau ta tính 3727(mod 101).

Đổi n=27 ra số nhị phân ta được 27 = 11011(2).

Bảng sau đây tính toán từng bước theo giá trị của các bít của 27.

Khởi tạo p=1.

b[i]	p = p²	p = p(mod 101)	p * x	p = (mod 101)
1	1² = 1	1	1 * 37 = 37	37
1	37² = 1369	56	56 * 37 = 2072	52
0	52² = 2704	78	-	78
1	78² = 6084	24	24 * 37 = 888	80
1	80² = 6400	37	37 * 37 = 1369	56

Như vậy ta có

3727(mod 101) = 56