KHÁI QUÁT

Làm thế nào biết được đường mực nước (đmn) sẽ thay đổi ra sao dọc theo dòng chảy trong kênh. Qua chương này, sẽ hình dung được và xác định chính xác đmn tăng hay giảm độ sâu dọc theo dòng chảy.

Cơ sở tính toán theo năng lượng thay đổi dọc theo dòng chảy. Do đó để xét sự biến đổi mực nước chủ yếu là tính các phương trình vi phân.

NHỮNG KHÁI NIỆM

Dòng chảy không đều

Xuất hiện dòng chảy không đều khi:

Về mặt động lực học, khi lực cản và trọng lực không cân bằng nhau.
Các đường dòng không song song nhau.
Vận tốc trung bình tại hai mặt cắt kế tiếp nhau không bằng nhau.

Nguyên nhân làm cho dòng chảy không đều xảy ra khi:

Kênh có độ dốc bằng không (i = 0) hoặc độ dốc nghịch (i < 0).
Đối với kênh có độ dốc thuận (i > 0), có nhiều nguyên nhân, trong thực tế thường gặp nhất là:

Có chướng ngại trên lòng dẫn, ví dụ như đập tràn (Hình 2-1), bậc nước.
Sự thay đổi độ dốc kênh dọc theo dòng chảy.
Kích thước và hình dạng mặt cắt thay đổi dọc theo dòng chảy.

Nghiên cứu dòng chảy không đều hay còn gọi là đường mặt nước không đều, quan trọng nhất là cần biết quy luật thay đổi của chiều sâu mực nước dọc theo dòng chảy.

h=f(l)

Có 2 dạng chuyển động không đều: Dòng chảy không đều thay đổi dần và dòng chảy không đều thay đổi gấp.

Kênh lăng trụ và phi lăng trụ

Lòng dẫn được chia ra làm 2 loại:

Kênh lăng trụ có hình dạng, kích thước của mặt cắt ướt không thay đổi dọc theo lòng kênh:

A= f(h), trong đó: h = f(l).

nên: Ġ $\frac{dA}{dl} = \frac{\partial A}{\partial h} \frac{dh}{dl}$ (2-1)

Kênh phi lăng có hình dạng, kích thước của mặt cắt ướt thay đổi dọc theo lòng kênh:

A= f(h, l), trong đó: h = f(l).

nên: $\frac{dA}{dl} = \frac{\partial A}{\partial l} + \frac{\partial A}{\partial h} \frac{dh}{dl}$ (2-2)

NĂNG LƯỢNG ĐƠN VỊ CỦA MẶT CẮT (Specific energy)

Năng lượng đơn vị của dòng chảy tại mặt cắt bất kỳ , đối với trục chuẩn (0-0) là:

E = $z + \frac{p}{γ} + \frac{α . v^{2}}{2g}$ (2-3)

Tại một mặt cắt, bất kỳ điểm nào trên đó đều có năng lượng là như nhau. Xét hai điểm: 1 và A1. Tại mặt cắt (1-1), ta có:

E₁= $z_{1} + \frac{p_{1}}{γ} + \frac{α_{1} . v_{1^{2}}}{2g} = a_{1} + h_{1} + \frac{α_{1} . v_{1^{2}}}{2g}$ (2-4)

Nếu dời mặt chuẩn (0-0) lên A1, năng lượng đơn vị của dòng chảy tại (1-1) sẽ là:

e₁ = $h_{1} + \frac{α_{1} . v_{1^{2}}}{2g}$ (2-5) Tương tự, tại mặt cắt (2 - 2), ta có:

E₂= $z_{2} + \frac{p_{2}}{γ} + \frac{α_{2} . v_{2^{2}}}{2g} = a_{2} + h_{2} + \frac{α_{2} . v_{2^{2}}}{2g}$ (2-6)

và e₁ = $h_{1} + \frac{α_{1} . v_{1^{2}}}{2g}$ (2-7)

Từ các công thức (2-5) và (2-7) ta có thể viết dưới dạng tổng quát như sau:

e = $h + \frac{α . v^{2}}{2g}$ (2-8)

Đại lượng ϶ gọi là năng lượng đơn vị của mặt cắt, được định nghĩa:

“Năng lượng đơn vị của mặt cắt là năng lượng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng của dòng chảy tại một mặt cắt nhất định tính đối với mặt chuẩn nằm ngang đi qua điểm thấp nhất của mặt cắt ấy”.

Ta có: $v = \frac{Q}{A}$ thay vào (2-8), ta được :

$e = h + \frac{α . Q^{2}}{2 {gA}^{2}}$ (2-9)

Bây giờ ta xét xem e thay đổi như thế nào dọc theo dòng chảy, từ các công thức (2-3) đến (2-8), ta có thể rút ra:

e = E - a (2-10)

Ta lấy đạo hàm theo l, ta được:

$\frac{de}{dl} = \frac{dE}{dl} - \frac{da}{dl}$ (2-11)

Ta lại có: $\frac{dE}{dl} = - J$ (2-12)

$\frac{da}{dl} = - i$ (2-13)

Thay (2-12) và (2-13) vào (2-11), nên ta có:

$\frac{de}{dl} = i - J$ (2-14)

Từ công thức (2-14), ta thấy:

e tăng theo dòng chảy khi i > J.
e giảm theo dòng chảy khi i < J.
e không đổi dọc theo dòng chảy khi i = J.

Ta biết rằng E luôn luôn giảm dọc theo dòng chảy, còn ở đây e thay đổi tùy thuộc vào quan hệ i và J. Nghĩa là e phụ thuộc vào sự tương quan giữa lực cản và trọng lực. Mặt khác phụ thuộc diện tích mặt cắt, hay ta có:

e= e(h, l); h = h(l)

ĐỘ SÂU PHÂN GIỚI (Critical depth)

Định nghĩa về độ sâu phân giới

Ta xét xem, tại một mặt cắt nhất định, ( sẽ thay đổi như thế nào theo h.

Do dòng chảy ổn định nên Q = const, còn diện tích mặt cắt là hàm số của h, nên (cũng là hàm số của h. Nên ta có thể viết:

e = h+ $\frac{α}{2g} \frac{Q^{2}}{A_{k}^{2}}$ = f(h).

Nếu ta đặt: e_thế = h (2-15)

và e_động= $\frac{α}{2g} \frac{Q^{2}}{A_{k}^{2}}$ (2-16)

Rõ ràng, e_thế đồng biến với h, còn e_động thì nghịch biến với h.

Vậy: e = e_thế + e_động (2-17)

Lúc h → 0 thì e_thế → 0, còn e_động→ ∞, do đó: e → ∞

Lúc h → ∞ thì e_thế → ∞, còn e_động→ 0, do đó: e → ∞

Như vậy trên đồ thị hàm số e sẽ có hai nhánh tiến đến vô cùng. Lúc h→ 0 đường e nhận đường e_thế = h làm đường tiệm cận xiên. Lúc h → ∞ thì đường e nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang. Nên e sẽ nhận một gía trị cực trị nhỏ nhất, ứng với độ sâu nhất định gọi là độ sâu phân gíơi h_k.

e_min= h_k + $\frac{α}{2g} \frac{Q^{2}}{A_{k}^{2}}$

trong đó: A_k diện tích ứng với độ h_k

Vậy có thể định nghĩa độ sâu phân giới: “Với một lưu lượng đã cho và tại một mặt cắt xác định, độ sâu nào làm cho năng lượng đơn vị của mặt cắt ấy có trị số nhỏ nhất thì độ sâu đó là độ sâu phân giới“.

Ta thấy h_k = f(Q, w); không phụ thuộc n và i

- Khi h > h_k thì $\frac{de}{dh}$ > 0; e đồng biến với h, nên dòng chảy êm.

- Khi h < h_k thì $\frac{de}{dh}$ < 0; e nghịch biến với h, nên dòng chảy xiết.

Cách xác định hk

Cách thứ 1: Căn cứ vào định nghĩa ta vẽ quan hệ e=f(h), ta dùng phương pháp thử dần theo công thức (2-9), tìm ra gía trị h sao cho e_min , đó là h_k cần tìm.

Cách thứ 2: Tìm công thức giải tích tính h k

Ta biết: khi h = h_k thì e_min; hay $\frac{de}{dh}$ = 0 khi h = h_k

Lấy đạo hàm (2-9), ta được:

$\frac{de}{dh} = \frac{d}{dh} (h + \frac{α . Q^{2}}{2 {gA}^{2}}) = 1 - \frac{α . Q^{2}}{{gA}^{3}} \frac{\partial A}{\partial . h}$

Lấy gần đúng ta lại có: $\frac{\partial A}{\partial h} = B$ (2-18)

Nên: $\frac{de}{dh} = 1 - \frac{α . Q^{2}}{{gA}^{3}} B = 0$ (2-19)

Vậy : $\frac{α . Q^{2}}{g} = \frac{A_{k}^{3}}{B_{k}}$ (2-20)

Cách tìm hk dạng tổng quát

Ta có: Q tính được gía trị của $\frac{αQ}{g}$

- Giả định h tính A và B; suy ra $\frac{A^{3}}{B}$

- Theo công thức (2-20), ta so sánh $\frac{αQ}{g}$ và $\frac{A^{3}}{B}$ . Khi hai giá trị bằng nhau thì h tương ứng chính là hk.

Để cho việc tính toán được nhanh và sau này có thể sử dụng, ta có thể lập thành bảng hoặc vẽ đồ thị quan hệ $\frac{A^{3}}{B}$ và h.

Tính hk đối với mặt cắt hình chữ nhật

Ta có: B_k = b; A_k = bh_k

Thay các gía trị trên vào (2-20), ta được:

$\frac{αQ}{g} = \frac{b^{3} h_{k}^{3}}{b} = b^{2} h_{k}^{3}$

Nên: $h_{k}^{3} = \frac{α}{g} {(\frac{Q}{b})}^{2}$

Đặt : $q = \frac{Q}{b}$ (2-21)

Ở đó :

q: gọi là lưu lượng đơn vị, m²/s

Vậy ta được: $h_{k} = \sqrt[3]{\frac{α . q^{2}}{g}}$ (2-22)

Tính hk đối với mặt cắt hình thang

Ta có: B_k = b +2mh_k; A_k = (b + mh_k)h_k

Thay các gía trị trên vào (2-20), ta được:

$\frac{α . Q^{2}}{g} = \frac{A_{k}^{3}}{B_{k}} = \frac{{(b + {mh}_{k})}^{3} h_{k}^{3}}{b + 2 {mh}_{k}} = \frac{b^{3} h_{k}^{3} {(1 + \frac{{mh}_{k}}{b})}^{3}}{b (1 + 2 \frac{{mh}_{k}}{b})}$

Đặt: $σ_{T} = \frac{{mh}_{k}}{b}$

và $σ_{N} = \frac{{mh}_{kCN}}{b}$

Lập tỉ số hai công thức trên ta được :

$\frac{σ_{T}}{σ_{N}} = \frac{h_{k}}{h_{kCN}}$

công thức trên cũng có thể viết lại :

$h_{k} = \frac{σ_{T}}{σ_{N}} h_{kCN}$ (2-23)

Ở đó :

σ_T là hệ số đặc trưng hình dạng mặt cắt hình thang;

σ_N là hệ số đặc trưng hình dạng mặt cắt hình chữ nhật;

Giả sử mặt cắt chữ nhật có cùng chiều rộng b với hình thang và cùng lưu lượng, nên độ sâu phân giới mặt cắt chữ nhật tương ứng ta có thể viết:

$h_{kCN}^{3} = \frac{α}{g} {(\frac{Q}{b})}^{2}$ (2-24)

Thay các gía trị trên vào biến đổi, ta được :

$σ_{N} = \frac{σ_{T} (1 + σ_{T})}{\sqrt[3]{(1 + {2σ}_{T})}}$ (2-25)

Xác định độ sâu phân giới theo công thức (2-23), cần tính h_kCN theo (2-24) và $\frac{s_{T}}{s_{N}}$ theo (2-25). Tuy nhiên để tính được $\frac{s_{T}}{s_{N}}$ theo (2-25) là bài toán đúng dần, từ (2-24) tính h_kCN, rồi thay vào (*) ta tính σ_N sau đó mới dùng công thức (2-25) để tìm σ_T.

Để đơn giản Agơrôtskin dựa đề nghị công thức:

$h_{k} = (1 - \frac{σ_{N}}{3} + 0, 105 σ_{N}^{2}) h_{kCN}$ (2-29)

Mặt cắt hình tròn.

Từ các công thức (1-61) và (1-64) trong chương 1, tính diện tích và chiều rộng mặt thoáng về mặt cắt hình tròn chảy lưng ống, thay vào (2-20) rút gọn ta được :

$\frac{α . Q^{2}}{g . d^{5}} = \frac{k_{A}^{3}}{sin θ} = h_{k} (θ)$ (2-30)

Để xác định độ sâu phân giới hình tròn h_k có 2 cách:

Cách thứ 1: Từ (2-30) dùng cách thử dần tìm θ hay a, cách này có thể lập trình hay dùng những phần mềm tính toán như Mathcad.

Cách thứ 2: Khi dùng máy tính tay, ta lập bảng tra theo công thức:

$\frac{k_{A}^{3}}{sin θ} = h_{k} (θ)$ (2-30a)

Có thể tham khảo bảng tra trong Phụ lục 1-3.

Khi tính toán, ta có lưu lượng Q và đường kính ống d, tính theo công thức $h_{k} (θ) = \frac{α . Q^{2}}{g . d^{5}}$ (2-30b)

Từ đó tra bảng tìm được a, sau đó tính độ sâu phân giới theo công thức:

h_k=a.d (2-31)

Tổng quan dòng chảy ổn định không đều trong kênh