cực và zero của hàm số mạch

khái niệm hàm số mạch được mở rộng cho lãnh vực tần số và nó vẫn được xác định như trước đây (chương 5)

(xem lại chương 5 cách xác định n(s) và d(s))

giả sử phương trình n(s)=0 có m nghiệm z₁, z₂,. . . z_m.

và phương trình d(s)=0 có n nghiệm p₁, p₂, . . . .p_n, h(s) được viết lại

z₁, z₂,. . . z_m được gọi là các zero của h(s)

p₁, p₂, . . . .p_n được gọi là các cực của h(s)

biểu diễn trên mặt phẳng s, với trục thưc xichma và trục ảo jw

zero được ký hiệu bởi vòng tròn nhỏ (o) và cực bởi dấu (x)

(h 7.8)thí dụ 7.6

vẽ giản đồ cực và zero của hàm số mạch

viết lại h(s)

các zero: -1, -1-j, -1+j

và các cực: 0, -2, -2-j3 và -2+j3

giản đồ cực và zero của h(s) (h 7.8)

vài điểm cần lưu ý về cực và zero

* nếu n(s) hoặc d(s) có nghiệm lặp lại bậc r, ta nói h(s) có zero hay cực đa trùng bậc r

* nếu n(s) (hoặc d(s)) → 0 khi s→ vô cùng ta nói h(s) có zero hay (cực) ở vô cực.

* các zero và cực ở vô cực không vẽ được trên mp s

* nếu n>m, h(s) có zero bậc n-m ở vô cực

* nếu n<m, h(s) có cực bậc m-n ở vô cực

* kể cả các zero và cực ở vô cùng thì số zero và cực của h(s) bằng nhau.

như vậy, trong thí dụ 7.6 ta phải kể thêm một zero ở vô cực

thí dụ 7.7

(h 7.9)vẽ giản đồ cực và zero của hàm số mạch

hàm số mạch này có:

* zero bậc 1 tại s=0 và zero bậc 2 tại s=-3

* cực bậc 2 tại s=-1+j và -1-j

* ngoài ra khi s→ vô cùng , h(s) =7/s → 0 nên h(s) có một zero ở vô cực

giản đồ cực và zero của h(s) (h 7.9)

xác định đáp ứng tự nhiên từ hàm số mạch

nhắc lại, phương trình vi phân tổng quát của mạch điện là:

phương trình đặc trưng tương ứng

a_nsⁿ+a_n-1s^n-1+. . . . . + a₁s+a₀=0 có nghiệm s₁, s₂,. . . .s_n

đáp ứng tự nhiên

* nghiệm của phương trình đặc trưng chính là nghiệm của d(s)=0, chính là các cực của h(s) (kể cả các cực đã đơn giản với zero, nếu có)

* vậy khi biết cực của h(s) ta có ngay dạng của đáp ứng tự nhiên.

và tính chất của đáp ứng tự nhiên có thể được phát biểu dựa trên vị trí của các cực của h(s) trên mặt phẳng phức.

hàm ngã vào và hàm truyền (driving point & transfer function)

hàm ngã vào

(h 7.10)

xét một lưỡng cực (h 7.10)

nếu kích thích là nguồn dòng điện thì đáp ứng là hiệu thế và hàm ngã vào là tổng trở z(s)

nếu kích thích là nguồn hiệu thế thì đáp ứng là dòng điện và hàm ngã vào là tổng dẫn y(s).

* đối với một lưỡng cực, z(s)=1/y(s) nên cực của hàm này là zero của hàm kia nên đáp ứng tự nhiên có thể xác định bởi cực hay zero.

* một mạch không chứa nguồn phụ thuộc thì luôn luôn ổn đinh nên cực (hoặc zero) của z(s) nằm ở 1/2 mp trái hở và chỉ những cực bậc nhất mới nằm trên trục ảo.

* một mạch có chứa nguồn phụ thuộc thì điều kiện ổn đinh tùy thuộc giá trị của nguồn này.

thí dụ 7.8

tìm tổng trở vào của mạch và điều kiện của g_m để mạch ổn định khi mạch được kích thích bởi một nguồn dòng điện (h 7.11a)

(a) (h 7.11) (b)

vẽ lại mạch ở lãnh vực s, với nguồn kích thích i₁(s) (h 7.11b).

viết kcl cho mạch

đáp ứng tự nhiên xác định bởi cực của z(s)

p₁ là số thực nên điều kiện để mạch ổn định là p₁< 0

-2g_m(1+5g_m)<0 hay g_m <-1/5 và g_m>0.

hàm truyền

(h 7.12)

xét một tứ cực (h 7.12). tùy theo tín hiệu vào và tín hiệu ra, hàm số mạch có thể là một trong bốn lượng sau:

* trong mỗi trường hợp, hàm số mạch diễn tả quan hệ giữa dòng điện và hiệu thế ở 2 cặp cực khác nhau và được gọi là hàm truyền.

* cực của hàm truyền cũng xác định tính chất của đáp ứng tự nhiên

với mạch ổn định h(s) không thể có cực nằm trên 1/2 mặt phẳng phải hay có cực đa trùng trên trục ảo.

* tổng quát 1/h(s) không là hàm truyền khác của cùng một mạch nên tính chất của đáp ứng tự nhiên không thể xác định bởi zero của h(s).

thí dụ 7.9

tìm hàm truyền

của mạch (h 7.13 )

xác định vị trí cực của h(s) khi a biến thiên từ 0→vô cùng.

giá trị a để mạch ổn định

(h 7.13)

vẽ lại mạch ở lãnh vực tần số (h 7.14)

(h 7.14)

viết kcl cho mạch

(1)

hàm truyền

(2)

cực của h(s) tùy giá trị của a

nghiệm của d(s)=0

s²+(3-a)s+2=0 (3)

khi a biến thiên từ 0→vô cùng ta có các trường hợp sau:

* a=0 phương trình (3) trở thành s²-3s+2=0 có nghiệm s_1,2=-1 & -2

h(s) có 2 cực phân biệt nằm trên phần âm của trục thực

p₁=-1 và p₂=-2

- khi a tăng từ 0 đến 3-2

phương trình (3) vẫn có 2 nghiệm âm phân biệt, các cực p₁và p₂ nằm trên phần âm của trục thực và tiến lại gần nhau.

(h 7.15)

* khi

phương trình (3) có nghiệm kép,

h(s) có một cực bậc 2 tại

phương trình (3) có 2 nghiệm phức liên hiệp

p₁= xichma₁+jw₁ và p₂= xichma₁- jw₁ với

- khi a thay đổi, quỹ tích nghiệm là vòng tròn tâm o bán kính

, nói cách khác cực của h(s) di chuyển trên vòng tròn này

* a=3 , phương trình (3) có 2 nghiệm ảo liên hiệp, + j

p₁và p₂ nằm trên trục ảo

* a=3+2

=5,828, phương trình (3) có nghiệm kép,

h(s) có một cực bậc 2 tại p₁= p₂=

* a>3+2

, phương trình (3) có 2 nghiệm thực dương, h(s) có các cực nằm trên phần dương của trục thực

* a→vô cùng một cực →vô cùng và một cực →0

tóm lại, qua biện luận trên ta rút ra được kết quả sau:

* a<3: mạch ổn định

* a=3: mạch dao động với tần số w =

rad/s

* a>3 : mạch dao động với biên độ tăng dần (bất ổn)

(h 7.15) cho vị trí các cực theo trị của a, gọi là hình quỹ tích nghiệm.

bài tập

--o0o--

xác định đáp ứng ép v(t) của mạch (h p7.1). cho v_g1=4e^-2tcos(t-45^o) v và i_g2=2e^-ta

mạch (h p7.2). xác định h(s)=v_o(s)/v_i(s). suy ra đáp ứng ép v_o(t) nếu v_i=5cost v

(h p7.1) (h p7.2)

mạch (h p7.3). xác định z(s), tổng trở vào của mạch, và v(t). cho v_g=16e^-4tcos2t v

mạch (h p7.4). xác định h(s)=v_o(s)/v_i(s). suy ra đáp ứng ép v_o(t) nếu v_i=e^-tcost v

(h p7.3) (h p7.4)

mạch (h p7.5).

(h p7.5)

chứng minh

7.6 dùng kết quả bài 7.5 để xác định tổng trở vào của mạch (h p7.6), sau đó xác định đáp ứng ép v(t). cho i_g=5e^-2tcost (a)

(h p7.6)

dùng định lý thevenin xác định dòng điện i(t) trong mạch (h p7.7).

cho i_g(t)=8e^-2tcos4t a

mạch (h p7.8). xác định h(s)=v_o(s)/v_i(s). suy ra đáp ứng ép v_o(t) nếu v_i=e^-tcost v

(h p7.7) (h p7.8)

mạch (h p7.9). xác định h(s)=v_o(s)/v_i(s) và đáp ứng ép v_o(t) nếu v_i=2e^-2tcost v

(h p7.9)

mạch (h p7.10). xác định h(s)=v_o(s)/v_i(s) và đáp ứng ép v_o(t) nếu v_i=6e^-2tcost v

(h p7.10)